SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 26 1 



tion H = o est nécessaire, mais qu'elle est suffisante pour 

 l'intégrabilité de V dx. Voici une autre manière de démon- 

 trer cette seconde partie de la proposition, qui me paraît 

 plus simple, et qui a, en outre, l'avantage de conduire à 

 une expression sous forme finie, de l'intégrale de V dx, 

 lorsque la condition H = o est remplie. 



Soit co une fonction de x, arbitraire et infiniment petite; 

 désignons par n un nombre entier et positif, ou zéro ; met- 

 tons no>,nJ,n p", etc. , à la place de /, /, y", etc. . dans V , 

 en sorte qu'on ait 



V = F (x , n<ù,nw ,n w", etc.) ; 



prenons ensuite l'intégrale deVdx, depuis une constante c, 

 jusqu'à la valeur variable de x, et faisons 



X w =/ F(.r,rcco, re<o', nJ', etc.)dx. 

 J c 



L'équation H = o étant identique par hypothèse, elle sub- 

 sistera quel que soit n, quand on y fera j=ra w , y' — nu\ 

 y"=ra<o", etc. Soit de plus 



P — Q'+R"— etc.=* (x, nu, nJ, etc.), 

 Q — 11'+ etc. =w(x, rew,«w', etc.), 

 R — etc. = n (x , niù.n u', etc.) , 

 etc.; 



P,Q, R, etc., désignant les mêmes quantités que dans le 

 n° 2. La différence X ( " +,) — X w sera la variation donnée par 

 la formule (3), dans laquelle on fera 8x=o, parce que les li- 

 mites c et x sont les mêmes pour X e " 1 et pour X e "" 1 " , et où 

 l'on mettra n <o , n u>' , n 0" , etc. , à la place de y, y , y", etc. A 



