SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 263 



étant au moins infiniment petite du second ordre, leur somme 

 reste encore infiniment petite, quoiqu'elles soient en nombre 

 infini. De plus, on pourra, sans erreur, étendre les sommes 2 

 depuis « = o jusqu'à n — i, à cause du facteur infiniment 

 petit par lequel chacune d'elles est multipliée. En rempla- 

 çant donc par une constante arbitraire C, la première partie 

 de la formule précédente , nous aurons 



X^ = X^'+C + 2 ["*(*, ««,»*/, etc.) 

 o 



+ o i 'W(x, raw, nJ , etc.) + (d "n(x > ra,o,/ï U ',etc) + etc] 



Soit s une quantité infiniment petite et indépendante de x; 

 on pourra faire 



l—n i—r; -=/\ etc.; 



et si l'on suppose qu'on ait i» = i , il en résultera 



m\ =j F (m , y, y\f, etc.) dx=f \dx, 

 c Je 



X (o) =/ F(x, 0,0,0; etc.) doc. 

 c 

 Faisons enfin «e = «. La somme 2 se changera en une somme 

 relative à u dans laquelle cette variable croîtra par des dif- 

 férences infiniment petites, constantes et égales à e ; ou bien, 

 en prenant , pour la différentielle du, cette somme 2 se trans- 

 formera en une intégrale définie qui s'étendra depuis u=o 

 jusqu'à u = i s ~ 1. Nous aurons donc finalement 



