2Ô4 MÉMOIRE 



/ V dx — f F (x , o, o, o, etc.) dx 



+ f ir®(. x >y u - l y' u i etc -)+/ rir (. x - l y u - l j' u - l etc.) | ( IO ) 



^ o 



+ - y"n(x, yu, y'u, etc.) + etc.] du, 



où l'on peut supposer que la constante arbitraire est ren- 

 fermée dans l'une des deux intégrales indéfinies. 



Ainsi, lorsque l'équation H = o a lieu identiquement, 



l'intégrale indéfinie / V dx s'exprime au moyen de l'in- 

 tégrale indéfinie d'une fonction donnée de la seule varia- 

 ble x, et de l'intégrale définie relative à une seule variable 

 u, d'une fonction dont la composition est aussi donnée par 

 rapport à cette variable. Dans chaque cas, on obtiendra les 

 valeurs des deux intégrales contenues dans la formule (10), 

 soit exactement par les méthodes connues, soit par la réduc- 

 tion en série, soit enfin par les quadratures. 



(n) Prenons actuellement pour V une fonction donnée de 

 x,y,y',y'\ etc., z,z, z", etc. , que nous représenterons par 



V=F(x,y,y', y", etc. , z,z' , z", etc.). 



Supposons que N dx soit une différentielle exacte indépen- 

 damment d'aucune relation déterminée entre x,y,z. Il 



faudra que le signe / disparaisse de la formule (5); ce qui 



exigera que les deux quantités H et K soient identiquement 

 nulles. Réciproquement, lorsque ces deux conditions seront 

 remplies, Vdx sera une différentielle exacte, et l'on pourra 

 exprimer son intégrale de la manière suivante. 



