u 



SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 267 



/ \${x,yu,y'u, etc., z,z\ etc.) — <b(x, yu,y'u, etc.,o, o,etc.)] yd 



4- / \y(x,yu,y'u, etc.,z, z', etc.)— W(x,yu,y' u,etc.,o,o,etc.)]y du 

 J o 



+ etc. = 



/ [9(5;, j, j, etc., z«,z'«, etc.) — 9 (a;, 0,0, etc., zu,zu, etc.)]zc?« 

 J o 



+ / [^(.r,^,/', etc.,zw, z'M,etc.) — ty(x, 0,0, etc.,z u,z'u, etc.)] z du 

 o 



+ etc. 



2 D'après la manière dont on a formé l'équation (11), il 

 suffit pour qu'elle ait lieu, que l'équation H = o soit iden- 

 tique et que K = o subsiste seulement pour une valeur par- 

 ticulière de y, telle que y = o; mais d'un autre côté, pour 

 l'intégrabilité de V dx , il est nécessaire que les deux quan- 

 tités H et K soient identiquement nulles; il en faut donc 

 conclure que si l'une des deux équations H = o et K=o, 

 la première, par exemple, est identique, et que l'autre ait lieu 

 pour y== o, cette seconde équation aura également lieu pour 

 toutes les valeurs de y et sera identique comme la première. 



Nous allons vérifier sur un exemple, ces deux proposi- 

 tions qui n'étaient pas encore connues, et qu'il serait facile 

 d'étendre à des fonctions différentielles de quatre ou d'un 

 plus grand nombre de variables. 



(12) D'après la forme des quantités H et K (n° 7), il est 

 d'abord aisé de s'assurer qu'elles ne peuvent être identique- 

 ment nulles à moins que V ne soit une fonction linéaire par 

 rapport à y [m) et z (o) ; m et n étant les indices des coefficients 



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