SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 27 1 



et ensuite 



U = F (y , t, w , etc.) ; 



F indiquant aussi une fonction donnée de v, t, w , etc. Si 

 nous représentons ses différences partielles par 



d¥ , d¥ 7 . d¥ ; „, 



^jft' h =Tt^ *=^ etc -' ( l3 ) 



nous aurons, pour sa variation complète, 



£ U =g$v -\-h%t+k%w + etc. ; 



d'où l'on conclut que pour former les équations relatives 

 au maximum ou au minimum d'une fonction donnée de 

 plusieurs intégrales v, t, w, etc., il faudra prendre les som- 

 mes des équations homologues, qui répondent auxmaxima 

 ouminima de v, t, w, etc. , après les avoir multipliées res- 

 pectivement par les constantes g, h, k, etc. On considérera 

 ces constantes comme des inconnues que l'on déterminera 

 en même temps que #„, x, et les constantes arbitraires, en 

 joignant aux conditions relatives aux limites x et x,, les 

 équations (i3) qui sont en même nombre que ces nouvelles 

 inconnues g, h ,k, etc. 



Cette solution générale renferme, comme cas particulier, 

 celle du problème des isopérimètres, pris dans son acception 

 la plus étendue. En effet, si l'on désigne par a, b, etc., des 

 constantes quelconques, et qu'on prenne 



U = v + at+bw + etc. , 



il est évident que les expressions de y et z qui rendront cette 

 somme un maximum ou un minimum absolu, c'est-à-dire 



