SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 27S 



Les variations de ces sommes , provenant des accroissements 

 arbitraires de y et z, et des variations Sx, et Sx I des deux 

 limites , seront 



Sv= ZV.dx + $V,dx + 8V,dx+ . . . + SV.dx 



+ VJx t — Yjx , 

 $t = $T„dx + ST t dx + ST 2 dx+ . . . + ST.dx 



+ TJx, — Tjx , 



bw=m o dx+SW 1 dx + 8WJx+-... + $W,dx 



+ W,$x—Wjx, 

 etc. 



S'il s'agit du maximum ou du minimum absolu de v, il fau- 

 dra qu'on ait 8v = o; de plus, les valeurs intermédiaires de y 

 étant tout à fait indépendantes entre elles , il faudra que le 

 coefficient de l'une quelconque de leurs variations dans cette 

 équation ^ = o, soit séparément égal à zéro; il en sera de 

 même à l'égard de z, en supposant les deux inconnues y et z 

 indépendantes l'une de l'autre; et, de cette manière, on dé- 

 duira de Sv = o, les deux équations différentielles qui ser- 

 viront à déterminer y et a en fonctions de x et d'un certain 

 nombre de constantes arbitraires. La considération particu- 

 lière des éléments extrêmes de v, fournira ensuite comme 

 on l'a vu précédemment (n°4), les équations d'où dépen- 

 dront les valeurs de ces constantes et des limites x et x,. 



Mais si l'on demande que v soit un maximum ou un mini- 

 mum, et qu'en même temps t, w, etc., aient des valeurs 

 données /, m, etc.,. il faudra qu'on ait simultanément 



$v — o, St=o, <W = o, etc. 



Les variations de toutes les valeurs intermédiaires de y et 

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