a^'*» MÉMOIRE 



née par une équation L=o différentielle du premier ordre, 

 sa valeur comportera une constante arbitraire qui se trou- 

 vera remplacée par la constante a et qui se déterminera 



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d'après la valeur donnée de / Tdx. 



(i5) Les premiers géomètres qui ont déterminé une courbe 

 correspondante au maximum ou au minimum d'une intégrale 

 prise dans toute sa longueur, se sont contentés de faire varier 

 l'ordonnée d'un seul point quelconque de cette courbe consi- 

 dérée comme un polygone d'un nombre infini de côtés infini- 

 ment petits, et d'égaler à zéro la variation qui en résultait 

 pour l'intégrale. Lorsqu'on a ajouté à la condition du maxi- 

 mum ou du minimum de cette intégrale, celle d'une longueur 

 donnée de la courbe demandée , Jacques Bernouilli a fait voir 

 que pour satisfaire en même temps à ces deux conditions, 

 il fallait faire varier les ordonnées de deux points consécutifs, 

 et non pas, comme son frère le croyait, l'abscisse et l'or- 

 donnée d'un seul point. En général, si plusieurs intégrales 

 relatives à la longueur de la courbe du maximum ou du 

 minimum, ont des valeurs données, et que l'abscisse d'un 

 point quelconque soit regardée comme la variable indépen- 

 dante, il faudra faire varier à la fois les ordonnées d'un 

 nombre de points consécutifs égal au nombre de ces inté- 

 grales augmenté d'une unité, puis égalera zéro la variation 

 correspondante de chacune des intégrales qui doit demeurer 

 constante, et celle de l'intégrale qui doit être un maximum 

 ou un minimum. C'est en partant de ce principe qu'Euler a 

 ramené le problème des isopérimètres , pris dans son accep- 

 tion la plus étendue, à une question de maximum ou du 

 minimum absolu. 



