SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 277 



En effet, prenons pour exemple le cas de trois intégrales 

 f 'Vdx, f X, Tdx, f'Vfdx, 



J x J x J x] 



dont la première doit être un maximum ou un minimum , 

 tandis que les deux autres auront des valeurs données, et 

 où V, T, W, sont des fonctions données de x , y, y' , j", etc. 

 Après avoir remplacé les coefficients différentiels y,y\y", 

 etc., par les différences première, seconde, etc., des valeurs 

 consécutives de y, divisées par dx, dx', etc., supposons qu'on 

 fasse varier arbitrairement trois des valeurs de y, et désignons 

 par w, 8 , <j>, leurs accroissements. Nous pourrons représenter 

 par 



pu+pj+p^, 



qo> + q,b + q,^, 

 ru, + r, G -f- 7%^, 



les variations correspondantes des trois intégrales; les neuf 

 coefficients p,p,, etc. , étant de certaines fonctions des va- 

 leurs de y qui ont varié et des valeurs correspondantes 

 de x. Mais si l'on a fait varier trois valeurs consécutives 

 de y, c'est-à-dire, trois valeurs correspondantes h x,x + dx, 

 ï + idx, et que w appartienne à la première, à la seconde, 

 et 4/ à la troisième, il est évident que p^q^r,, devront se 

 déduire de p, q, r, et/?,, q,, r,, de /?,, q,, r,, par la sub- 

 stitution de x + dx k x , en sorte que nous aurons 



P.=P + dp, p,=p, + dp l =p + 2dp + d*p, 

 q, = q + dq, q 7 = q 2 + dq t —q + zdq + d'q , 

 r, = r + dr, r, = r l + dr t = r -+- zd r + d'r. 



Il résulte de là que les tiois équations qu'on obtiendra en 



