SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 279 



Si l'on fait varier en même temps une des valeurs de l'in- 

 connue y et la valeur correspondante de la variable x, c'est- 

 à-dire, les deux coordonnées d'un point quelconque de la 

 courbe que l'on veut déterminer, et si l'on représente par 

 e et u les accroissements de x et de y, celui de l'intégrale 





Vax pourra être représenté par 



h 



e + p<j>; 



p étant le même coefficient que précédemment, et h un 

 autre coefficient qui se déduira facilement de p. En effet , si 

 l'on établit entre les variations e et &> de x et y, le même 

 rapport qui existe le long de la courbe, entre leurs diffé- 

 rentielles dx et dy, il est évident que la courbe ne chan- 

 gera pas et que la variation de l'intégrale qui s'y rapporte 

 devra être égale à zéro; on aura donc hz +^ u = o, dans le 

 cas de <o =j'e; d'où l'on conclut h = —py'. La variation de 

 l'intégrale sera donc 



p{<*— y'i), 



ou simplement pv, en faisant u — y'i=<v. Il en sera de 

 même à l'égard d'un second et d'un troisième point, dont 

 on fera varier simultanément l'abscisse et l'ordonnée , et de 



même aussi pour chacune des deux autres intégrales / Tdx 



/ x i 

 W dx. Par conséquent, si l'on veut tenir compte 



dans le calcul précédent, de ces variations simultanées, il 

 suffira d'y remplacer u, ô, <{», par d'autres accroissements que 

 je représenterai par v, t, w; ce qui ne pourra aucunement 



