SUR J.E CALCUL DES VARIATIONS. 299 



cette surface , comprise entre deux courbes fermées qui 

 seront données ou qu'il s'agira dé déterminer. Soient AB C (*) 

 la projection de la courbe extérieure sur le plan des x et y , 

 et DEF celle de la courbe intérieure sur le même plan. L'in- 

 tégrale relative à x et y que l U représente,s'étendra à tous les 

 éléments dx dy de la surface plane interceptée entre ces deux 

 courbes; mais on peut aussi la considérer comme exprimant 

 une intégrale double étendue à tous les éléments de l'aire 

 circonscrite par la courbe fermée ABC, moins la même in- 

 tégrale étendue à tous les éléments de l'aire terminée par 

 la courbe fermée DEF; et à cause que SU se réduit à r en 

 vertu de l'équation H = o, on aura alors 



r = r (,) — r ( °>, 



en appelant r w la partie de SU provenant de l'aire terminée 

 par ABC et r o) celle qui provient de l'aire circonscrite par 

 DEF. Ces deux limites ABC et DEF étant, en général, in- 

 dépendantes l'une de l'autre, l'équation r = o se décomposera 

 en deux autres, savoir , 



r (,) = o, r (0) =o. 



Il nous suffira de considérer la première : la seconde sera de 

 la même forme et susceptible des mêmes transformations. 



(*) Le lecteur est prié de tracer lui-même la figure : elle se compose 

 de deux courbes fermées, dont l'une est comprise dans l'autre; d'une 

 droite P M' M , parallèle à l'axe des ordonnées, qui coupe celui des abscisses 

 au point P, et la courbe extérieure ABC, aux points M' et M; et d'une 

 droite MN, menée en debors de ABC et normale en M à cette courbe. 

 On placera les points A et B aux limites de ABC dans le sens des abscisses, 

 où les tangentes sont parallèles à l'axe des ordonnées. 



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