302 MÉMOIRE 



La figure suppose que chaque parallèle à l'axe des y ne 

 rencontre la courbe fermée ABC qu'en deux points seule- 

 ment; mais cette transformation de l'équation r (,) = o aurait 

 encore lieu, si le nombre des intersections, qui doit toujours 

 être pair, était plus grand que deux : on prendrait alors suc- 

 cessivement pour les deux ordonnées PM et P M', qui répon- 

 dent à une même abscisse, celles de la première et de la 

 seconde intersection, de la troisième et de la quatrième, etc. 



(23) Avant d'aller plus loin, nous pouvons actuellement 

 vérifier l'équation (5). 



En effet, d'après ce qu'on vient de voir, la partie de cette 

 équation qui répond à la courbe extérieure, est la même 

 chose que 



f o (^) C0S - èds =f o (^)cos.a^; 



les parenthèses indiquant que chaque différence partielle est 

 prise par rapport à l'une des variables x ou y , avant d'avoir 

 substitué dans Su la valeur de l'autre variable, tirée de l'équa- 

 tion de la courbe ABC. Si l'on différencie par rapport à x, 

 après avoir substitué la valeur de y , on aura 



et à cause de 



dx V dx J V dy J dx ' 



d.Sb) d.Sa dx d.S<>> 



ds ~ ' dx ds ~" dx . ' ' 



il en résultera 



ç l /d.s<»s r l d.s , r l sd.s<a\d r *j 



l o {-d^J cos - èds =J o ~dT ds -J (-lïFJïïx cos - Us - 



