3û4 MÉMOIRE 



est le cosinus de l'angle compris entre la tangente et la nor- 

 male en un même point M de la courbe ABC, et, par con- 

 séquent, égal à zéro. Il est évident que cette vérification con- 

 vient également à la partie de l'équation (5) qui répond à 

 la courbe fermée DE F. 



(a4) Les applications des formules précédentes à la géo- 

 métrie et à la mécanique , sont relatives à des problèmes où 

 la fonction V dépend de l'inclinaison des pians tangents et 

 des grandeurs des rayons de courbure; pour ne pas compli- 

 quer inutilement la question , nous supposerons donc que 

 le coefficient différentiel le plus élevé que contienne V soit 

 du second ordre; auquel cas l'équation H = o sera aux dif- 

 férences partielles du quatrième ordre, et le premier membre 

 de l'équation (G) se réduira à ses quatre premiers termes. 

 Mais pour pouvoir déduire de cette équation (6), les condi- 

 tions relatives à la seconde limite de U, il est nécessaire de 

 transformer son troisième et son quatrième terme, et de ré- 

 duire à deux seulement, les trois variations u, <■>', m. 



Tous les termes de l'équation (6) sont des intégrales rela- 

 tives à l'arc s de la courbe ABC, pris pour la variable indé- 

 pendante et dont la différentielle ds est constante et posi- 

 tive. Sous le signe /, l'ordonnée z est regardée comme une 



fonction de x et y, déduite de l'équation de la surface de- 

 mandée, c'est-à-dire, de l'intégrale complète de l'équation 

 H = o. Les variables x et y sont implicitement supposées des 

 fonctions de s, déterminées par l'équation, connue ou in- 

 connue, de la courbe ABC. Cela étant, si l'on différence w 

 par rapport à s, on aura 



da , dx dy 



ds ds ' ds 1 



