SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 3l3 



àz=p$x + qày; 

 par conséquent, la variation o> aura pour valeur 



o> = (p — z')$x + (q—z / )$y. 



Je suppose, en outre, que la surface demandée doive être 

 tangente à la surface donnée, dans toute l'étendue de la 

 courbe extérieure. Il en résultera les deux conditions p = z 

 et q = z , dont l'une sera une suite de l'autre, d'après ce qui 

 a été dit dans le premier cas. Elles rendront nulle la valeur 

 précédente de <a pour tous les points d'une zone infiniment 

 étroite, comprenant la courbe extérieure; d'où l'on con- 

 clura Ô = o, comme dans le premier cas. Les variations u et 

 8 étant nulles, l'équation (7) se réduira à son premier terme; 

 et pour qu'elle ait lieu quelle que soit la variation e qui reste 

 arbitraire, il faudra qu'on ait V = o, ou plutôt 



V-hc(kp — hq) = o, (il) 



si l'on suppose, comme dans le numéro précédent, que la 

 valeur d'une certaine intégrale Wdz soit donnée. 



Donc, dans ce troisième cas , les équations (8) seront rem- 

 placées par les équations (10) et (11), jointes à l'une des 

 deux équations p=z et q = z t . 



4° La courbe extérieure étant toujours astreinte à se 

 trouver sur la surface donnée par l'équatibn (10), mais 

 le plan tangent à la surface demandée, n'étant assujéti 

 à aucune condition le long de cette courbe, l'expression 

 de eu du cas précédent aura encore lieu, sans qu'il en résulte 

 aucune limitation de la quantité S qui restera tout-à-fait ar- 

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