SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 3l5 



et en les multipliant membre à membre et re'duisant, il 

 vient 



V + c(kp — hq) + X(p — z') + Y(q—z i ) = o. (12) 



Ainsi dans ce quatrième cas, la troisième équation (8) aura 

 lieu, et les deux autres seront remplacées par cette équa- 

 tion (12) jointe à celle de la surface donnée, dont la diffé- 

 rentielle est représentée par dz=pdx + qdy. 



5° Enfin , supposons que le plan tangent à la surface 

 demandée puisse toujours varier arbitrairement le long de 

 la courbe extérieure, et que cette courbe ne soit point as- 

 treinte à se trouver sur une surface donnée. L'équation Z = o 

 continuera d'avoir lieu. En écrivant l'équation (12) sous la 

 forme : 



Y+c(kz— hz^+ÇX+ck)^ — z') + (Y— ch)(q — z t )=o, 



multipliant par dx, et mettant [z i — q)dy à la place de 

 (p — z')dx, on aura 



[Y + c{kz' — hz i )\dx + [Ydx — Xdy 



— c(hdx + kdy)](q — z / )==o. 



Or, la quantité q est tout-à-fait arbitraire, puisque mainte- 

 nant la surface qui avait dz=pdx -+- qdy pour équation 

 différentielle, n'est pas donnée; l'équation précédente devra 

 donc se décomposer en deux autres ; et en les joignant à 

 l'équation Z^o, nous aurons 



Y + c{kz' — hzj — o, \ 



Ydx — Xdy—c{hdx + kdy) = o, (i3) 



Z = o, ] 



4o. 



