3lf) MÉMOIRE 



pour les trois équations relatives à ce cinquième et dernier 

 cas. Elles coïncident, comme cela devait être, avec les équa- 

 tions (8), lorsqu'on y fait e=o; ce qui revient à supprimer 



la condition d'une valeur donnée de l'intégrale / W dz ; en 



sorte qu'il n'existe plus aucune condition donnée, à laquelle 

 la seconde limite de U soit assujétie. 



(27) Tous ces raisonnements conviennent également à la 

 première limite de U ; et par les détails où nous venons 

 d'entrer, on voit que les conditions du maximum ou du mi- 

 nimum de cette intégrale double, consistent en ce que, pour 

 chaque limite , la surface demandée doit satisfaire simulta- 

 nément à trois équations connues , qui seront données di- 

 rectement, ou qu'on formera, comme on vient de l'expli- 

 quer, dans les différents cas qui pourront se présenter. Ces 

 deux systèmes de trois équations serviront à la détermina- 

 tion des quatre fonctions arbitraires que renfermera l'inté- 

 grale complète de l'équation H = o. 



Lorsque la fonction différentielle V ne sera que du pre- 

 mier ordre, on aura 



R:=o, S = o, T=o; 



l'équation aux différences partielles H = o ne sera plus que 

 du second ordre; on aura aussi 



X=P, Y = Q, Z = o; 



et les équations du numéro précédent se simplifieront et se 

 réduiront à deux pour chaque limite de U. 



Si l'on veut appliquer les formules du numéro précédent 

 au cas d'une intégrale simple, il faudra supposer que la 



