SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 3lO, 



les deux équations de cette courbe , et 



celles de la courbe extérieure dont la projection est ABC; 

 relativement à la zone minima , les valeurs de r s'étendront 

 depuis /•=/8 jusqu'à r=F6, et celles de 6, depuis 6=0 

 jusqu'à 8 = 2x, et l'on déterminera les fonctions arbitraires 

 contenues dans l'intégrale de H = o, de manière que z de- 

 vienne successivement 98 et * 8 pour r=/'8 et r=F8 : en 

 dehors de cette zone, c'est-à-dire, pour des valeurs de r 

 </"8 ou >FG par rapport à un angle 8 quelconque, l'or- 

 donnée z ne sera astreinte à aucune limitation, et pourra 

 devenir infinie. Mais, si l'aire minima doit être toute la 

 portion de surface dont la projection est circonscrite par la 

 courbe ABC, les valeurs de r s'étendront depuis r = o jus- 

 qu'à r=F6, pour chaque valeur de 8, et dans toute cette 

 étendue, l'ordonnée z devra être une quantité finie. On sup- 

 primera donc, dans ce cas, la partie de l'intégrale de H = 

 qui deviendrait infinie pour r = o; et cette intégrale, ainsi 

 modifiée, se trouvera réduite au degré de généralité de la 

 question; en sorte que la seule condition de z = <ï>ô quand 

 1 ■ — F 6, suffira pour achever la solution complète du problème. 



Ainsi , la question de l'aire minima et d'autres sembla- 

 bles, se partagent en deux problèmes distincts quant à la 

 détermination des fonctions arbitraires. Je ne fais qu'indi- 

 quer ici cette distinction sur laquelle je reviendrai dans une 

 autre occasion. 



Si la surface demandée est fermée de toutes parts, qu'il 

 s'agisse, par exemple, de trouver la surface la plus éten- 

 due qui enveloppe un volume donné, les conditions de 



