SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 323 



et si l'on représente par Ç une nouvelle inconnue, on pourra 

 la remplacer par le système de ces deux équations du second 



ordre : 



z' : + z=Z, r+^=cl (a) 



En vertu de ces valeurs de R, S, T, la quantité Z du n° 24 , 

 sera égale à 2Ç; pour fixer les idées, je supposerai que les 

 limites de la surface élastique en équilibre soient des cour- 

 bes fixes et données, mais que le plan tangent à cette sur- 

 face ne soit assujéti à aucune condition le long de ces cour- 

 bes ; d'où il résultera , d'après le second cas du n° 26 , qu'on 

 devra joindre aux deux équations de chaque courbe limite, 

 l'équation Z = o ou £ = 0, pour former les deux systèmes 

 d'équations simultanées qui serviront, avec l'aire donnée 

 de la lame élastique, à déterminer la constante c et les 

 fonctions arbitraires contenues dans les intégrales des équa- 

 tions (a). Cette aire devra différer très-peu de sa projection 

 sur le plan des x et y; et en désignant cette projection par 

 \ et l'aire de la lame élastique par X(i +g), de sorte que g - 

 soit une fraction positive et très-petite, on aura 



ou bien, au degré d'approximation où l'on s'est arrêté, 

 lg=- 2 ff(z"+z;)dxdy. (b) 



(3o) On peut donner une forme différente à ces équa- 

 tions (a) et (b) , en transformant les coordonnées rectangu- 

 laires x et y en coordonnées polaires. Soit r le rayon vecteur 

 de la projection d'un point quelconque de la surface, sur le 

 plan des x et y, et 6 l'angle que ce rayon fait avec l'axe des x , 



4r. 



