SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 327 



Suivant ce que j'ai trouvé dans un autre Mémoire (*), l'in- 

 tégrale complète de la seconde équation (g) est 



(=a e dv-hbl e log.(rsin 2 u)^u; 



a et b désignant les deux constantes arbitraires, et e la 

 base des logarithmes népériens. Il est facile, en effet, de vé- 

 rifier que cette valeur de Ç satisfait à la seconde équation (g); 

 car on en déduit immédiatement 



, 2 .. , y ,-k -ri/ccos.eo ,- r -K -rV/cCOS.w 



4_| + iJ? =flc r e cos.W»-— / e cos.vd 



dr rdr J r J o 



-•k -rl/pcos. w 

 + bcf e cos.*wlog. (rsin.' b>)dta 



J o 



„tc — r v/c cos.u 



r 



" o 



2S1/ C 



-/ e cos. ulog. (rsin. 1 m)du> 



J o 



- -17 -7-1/7 COS. W 



- / e cos. u>di.>; 



r 



o 



par l'intégration par partie, on a 



,Tf — rl/'ccos.w ^tc — r \/c cos. u 



1/ 



r 



y— ~n — / v cuua.w j% n — / V c tus, UJ 



— - I e cos.vtd<ù = — cl e sin.'u </<■>, 



J o ■/ o 



- -tc — ri/7cos.o> ._ Jic - r 1/7 cos. o> 



-/ e cos. wlog. (rsin.' <o)c?u = j47 e cos. wc?u 



^ o * o 



-tt — ri/7cos.&> 

 — c/ e sin.'colog. (rsin.'u)^^; 



*^o 



(*) Journal de l'École polytechnique, 19 e cahier, page 475- 



