SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 297 



port à x, ni (S tn l -¥■ S t w) ày; une différentielle complète par 

 rapport à y; ce qui empêche que les intégrations indiquées 

 puissent s'effectuer immédiatement. 



(21) Pour le maximum ou le minimum de U, il faudra 

 qu'on ait £U = o; l'intégrale double que la formule (4) ren- 

 ferme, étant irréductible à des intégrales simples, à cause 

 que™ est une fonction arbitraire de x ety, il sera nécessaire 

 que les deux termes de cette formule soient séparément 

 nuls; d'où l'on conclut 



r = o, H = o, 



pour les équations communes au maximum et au minimum 

 de l'intégrale double que nous considérons. La seconde fera 

 connaître l'expression de z en fonction de x ety; elle sera, 

 en général, aux différences partielles de l'ordre in, si la 

 fonction donnée V est de l'ordre n. La première se décom- 

 posera en plusieurs autres, dont nous examinerons en détail, 

 dans les numéros suivants, le nombre et la nature, selon 

 les différents cas qui peuvent se présenter; ce qui est le 

 point le plus délicat de la question. 



On étendra sans difficulté l'analyse précédente aux inté- 

 grales triples, quadruples, etc. : dans le cas d'une intégrale 

 triple, par exemple, on trouvera pour sa variation, une ex- 

 pression analogue à la formule (4), qui se composera d'une 

 intégrale triple , et d'une autre partie contenant seulement 

 des intégrales doubles, relatives aux deux limites de l'inté- 

 grale triple dont on s'occupera. On pourrait aussi supposer 

 que la quantité contenue sous les signes d'intégrations, ren- 

 ferme plusieurs fonctions inconnues des variables indé- 

 pendantes , et que ces fonctions fussent indépendantes ou 

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