SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 2g3 



le signe //. D'après ce qu'on a dit plus haut, il suffira que 



§x, %y , Hz, soient des fonctions arbitraires de u et -y, et il 

 ne sera pas nécessaire de faire varier les limites relatives à 

 u et v , pour que l'intégrale U varie de la manière la plus 

 générale, soit à l'égard de ses limites relatives à x et y , soit 

 par rapport à la forme de la fonction z; la variation com- 

 plète de U sera donc 



J) \du dv dvduj 



| ÇÇfdxdSy dxdSy dydhx dy r> 't*}y dudv 

 J! \du dv dv du dv du du dv J 



Mais d'après les formules du numéro précédent, on a 



dx d8y dx d<iy /dx dy dx dy\dSy 



dudv dv du \d u d-v dv du) dy ' 



dyd^x dydiïx fdxdy dx dy\d$x 



dv du du dv \du dv dv du) dx ' 



nous aurons donc 



J) \ dx dy/\dudv dvduj 



ou bien, en revenant aux variables x et y, 



formule dans laquelle les limites seront les mêmes que celles 

 de U. J'y substitue la valeur de S V donnée par l'équation (a) ; 

 et en observant que 



dx dx 



VAr 



, djy d.YJy 



dy ~ dy 



