SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 20/Î 



et ces équations ayant lieu pour une fonction quelconque z 

 de x et y, on y peut substituer successivement z', z,, z", etc., 

 au lieu de z. En mettant z' à la place de z dans la première 

 équation (i), il vient 



s. „" m n ii % d(Sz' — z"S.r — z.'Sr) 



bz — z Sx — z, Sr= — : '_^n- 



1 J dy 



mais en différentiant la même équation par rapport à .r, 

 on a 



d(8z' — z"Sx — z/Sr) d*o> 

 dx 'JP'' 



on aura donc 



Sz"—z'"Sx—z;'Sy=u>". 



La substitution de z t au lieu de z dans la seconde équa- 

 tion (i) donnera de même 



Sz — z 'Sx — z Sr=<"> . 



Si l'on met z à la place de z dans cette seconde équation (i), 

 on a 



Sz/-z"Sx-z '» '(*»'— ">*-»/fr} . 



' " J dy 



La différentiation de la première équation (i), relativement 

 à j, donne 



d(Sz'—z"S*—z;s.r) d\ 



dy dxdy 



par conséquent on aura 



Il est facile de voir qu'en continuant ainsi , on aura , quels 

 que soient les indices m et n, 



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