SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 287 



deux crochets. Ainsi, parmi les quatre intégrales simples 



(/krftf), (/K<r), [flLdx], [fedy], 



les deux premières appartiendront à la courbe intérieure 

 et s'étendront à son contour entier, et les deux dernières 

 s'étendront au contour entier de la courbe extérieure. Je 

 désignerai, pour un moment, par A = o et B = o, les équa- 

 tions des projections de ces deux courbes sur le plan des x 

 et y. 



Si l'on remplace x et y par des fonctions de deux autres 

 variables indépendantes ù'etv, la troisième coordonnée z 

 deviendra aussi une fonction de u et v. En substituant les 

 valeurs de x ety dans les équations A = o et B = o des cour- 

 bes limites, on aura deux équations C = o et D = o qui dé- 

 termineront les limites de l'intégrale relative à u et v. Réci- 

 proquement, l'équation de la surface résultera de l'élimina- 

 tion de u et i) entre les valeurs de x, y , z; et les. équations 

 A = o et B = o des courbes limites de l'intégrale relative à 

 x et y , s'obtiendront en éliminant u et v entre les valeurs 

 de x et y et les équations C = o et D=o. 



Cela posé, si l'on désigne par Sx, èy, &z, des fonctions 

 arbitraires et infiniment petites de u et v, et si l'on suppose 

 que x, y, z, deviennent x + Sx, y + Sy,.z -i-Sz:, l'équation 

 de la nouvelle surface résultera de l'élimination de u, et v 

 entre les valeurs de x + hx, j+ S y, z + $z; en sorte que 

 sa forme différera infiniment peu, mais d'une manière en- 

 tièrement arbitraire, de celle de la surface primitive. En 

 même temps , si l'on n'a pas changé les équations C = o et 

 D = o, celles des nouvelles courbes limites résulteront de 



