SUR LE CALCUL DES VARIATIONS. 28 1 



En supposant que dans l'intégrale / \ dx, la fonction 



donnée V ne renferme pas explicitement les limites x„ et x,, 

 non plus que les valeurs extrêmes de y, y , y", etc. , le terme 

 r de la formule (3) sera de la forme 



£„ et Ç, étant ce que devient une même fonction de x,y,y\ 

 y", etc., et de leurs variations, à la première et à la seconde 

 limite de l'intégrale. Or, s'il s'agit d'un problème relatif à 

 une courbe plane, on pourra prendre pour les variables y 

 et x, le rayon vecteur r d'un point quelconque, et l'angle 

 6 que ce rayon fait avec une ligne fixe, menée arbitrairement 

 par son origine dans le plan de la courbe; de plus, si la 

 courbe demandée doit être une courbe fermée, on pourra 

 placer dans son intérieur l'origine des coordonnées polaires 

 r et 6; et dans cette hypothèse, le rayon vecteur r sera une 

 quantité positive qui n'aura que des valeurs finies, celles de 

 la variable s'étendront depuis zéro jusqu'à la circonférence 

 2x, et les limites de l'intégrale seront 



Û = o, 6, = 2tc. 



Mais ces limites répondant à un même point de la courbe 

 fermée, leurs variations &8„ et H t seront égales entre elles; 

 par la même raison, on aura 



r,= r„, r t '—r ', /-,"=/•„", etc. 

 S r, = î r , 8 r? = S rj , t r", = * /•„", etc. ; 



et si l'angle 6 n'entre pas dans V hors des signes trigonométri- 

 ques, il en résultera £, =£„ ; ce qui fait évanouir la quantité T. 

 Il en serait de même si la fonction V renfermait deux ou plu- 

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