368 RÉFLEXIONS SUR LA THEORIE 



complète de la propriété des parallèles, s'il n'était pas dé- 

 montré en même temps que la position d'une des deux 

 droites, par rapport à l'autre, est fixée invariablement par 

 la condition que la somme des deux angles intérieurs CAB 

 -+- ABD est égale à deux angles droits; de sorte que, s'il y 

 a une différence , quelque petite qu'elle soit, entre la somme 

 des angles CAB + ABDet deux angles droits, les deux 

 droites AC, BD, prolongées suffisamment, soit vers M, soit 

 versN, se rencontreront nécessairement et ne seront plus 

 parallèles. C'est cette proposition qui, de tout temps, a exercé 

 la sagacité des géomètres. Il paraît qu'ils en ont cherché inu- 

 tilement une démonstration satisfaisante et assez simple pour 

 être insérée dans les éléments. Aussi voit -on qu'Euclide a 

 été obligé de supposer ce qu'il ne pouvait démontrer; c'est 



droites devront se rencontrer et ne seront plus parallèles , ce qui est le 

 point de la difficulté. 



Il conviendrait de donner plus de précision à la définition des parallèles , 

 en disant qu'on appelle parallèles deux droites qui, étant situées dans un 

 même plan, font, avec une troisième, deux angles intérieurs dont la somme 

 est égale à deux droits. 



D'après cette définition , le premier théorème à démontrer serait que 

 deux parallèles ne peuvent se rencontrer, à quelque distance qu'on les pro- 

 longe, et ce théorème n'offrirait aucune difficulté. 



Ensuite il resterait à démontrer que, lorsque la position de deux droites, 

 par rapport à une troisième, est telle, que la somme des deux angles in- 

 térieurs n'est pas égale à deux angles droits , les deux droites , prolongées 

 suffisamment, devront se rencontrer, ce qui sera l'objet d'un nouveau 

 théorème. La difficulté est toujours la même, mais l'ordre des idées est 

 plus simple dans cette seconde définition, et on voit clairement, qu'en 

 partant d'un point donné, il n'y a qu'une droite, passant par ce point, qui 

 pourra être parallèle à une droite donnée. 



