DES PARALLÈLES. 3^1 



nombre de fois suffisant , deviendra plus grande qu'une lon- 

 gueur donnée. On pourra donc supposer la suite des trian- 

 gles prolongée assez loin pour qu'on aitAP — B Q > 2 A B , 

 et ainsi on aurait AP>BQ-+-2AB. Or, au contraire, la 

 ligne droite AP est plus courte que la ligne anguleuse ABQP 

 qui joint les mêmes extrémités A et P , de sorte qu'on aura 

 toujours AP< AB + BQ + QP, ou AP<BQ H- 2AB. 

 Donc l'hypothèse d'où l'on est parti est absurde; donc la 

 somme des trois angles du triangle ABC ne peut être plus 

 grande que deux angles droits. 



3. Cette première proposition étant établie, il restait à 

 prouver que la somme des angles ne peut être plus petite 

 que deux angles droits ; mais nous devons avouer que cette 

 seconde proposition, quoique le principe de sa démonstration 

 fût bien connu (*), nous a présenté des difficultés que nous 

 n'avons pu entièrement résoudre. 



C'est ce qui nous a déterminé à revenir, dans la 9 e édition, 

 à la marche d'Euclide, et plus tard, dans la 12 e , à un autre 

 genre de démonstration dont nous parlerons ci-après. 



Ces considérations et beaucoup d'autres, qui naissent de 

 différentes manières d'envisager le même sujet, laissaient 

 peu d'espoir de parvenir à démontrer la théorie des paral- 

 lèles ou le théorème sur la somme de trois angles du triangle, 

 par des moyens aussi simples que ceux dont on fait usage 

 pour démontrer les autres propositions des Eléments. 



11 n'en est pas moins certain que le théorème sur la somme 

 des trois angles du triangle doit être regardé comme l'une 



(*) Voyez la note II, page 278, de la douzième édition des Eléments 

 «le Géométrie. 



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