384 RÉFLEXIONS SUR LA THEORIE 



angles qui se réunissent successivement aux points D, E, F, 

 G, H, etc. Supposons donc i° que la somme des angles du 

 triangle ABC soit plus petite que deux angles droits, alors 

 l'angle ACE, formé par les côtés AC, CE, ainsi que tous 

 les autres angles B D F, C E G , D F H , etc. , pris alternative- 

 ment dans le contour supérieur de la chaîne et dans son 

 contour inférieur, seront égaux à la somme des angles du 

 triangle ABC, et seront par conséquent tous moindres que 

 deux angles droits. 



Il en résulte que les deux contours ACEP, BDFQ,qui 

 terminent de part et d'autre la chaîne des triangles dans 

 notre hypothèse, ne seraient point des lignes droites, mais 

 que, s'ils étaient considérés indépendamment des triangles 

 qui les lient entre eux, ils présenteraient le même aspect que 

 r'ig. a a. deux arcs de cercle décrits de rayons égaux, qui auraient 

 leurs convexités tournées de deux côtés opposés. Ces arcs se 

 rencontreraient nécessairement, et termineraient la chaîne 

 dans leurs deux intersections, ce qui ne peut s'accorder avec 

 la figure réelle de cette chaîne qui doit évidemment s'éten- 

 dre à l'infini; ainsi notre construction a rendu manifeste, 

 autant qu'il est possible, l'absurdité de la supposition sur la- 

 quelle elle est appuyée. Il faut donc en tirer la conséquence 

 que la somme des angles du triangle ABC ne peut être 

 moindre que deux angles droits. 



Supposons 2° que la somme de ces angles est plus grande 

 que deux angles droits. Alors les trois angles réunis autour 

 du point C étant égaux aux trois angles du triangle ABC , 

 ce qui restera de ces trois angles en les retranchant de quatre 

 angles droits, sera un angle intérieur ou rentrant, AC E, plus 

 petit que deux angles droits; il en sera de même des angles 



