DES PARALLÈLES. 385 



extérieurs BDF au point D, CE G au point E, DFH au 

 point F, et ainsi en passant alternativement du contour su- 

 périeur au contour inférieur, tous ces angles extérieurs seront 

 égaux au complément à quatre angles droits de la somme des 

 angles du triangle ABC. Il s'ensuit que les deux contours 

 ACEP, BDFQ, qui terminent de part et d'autre la chaîne 

 des triangles, dans la seconde hypothèse, ne sont point en- 

 core des lignes droites, mais que s'ils étaient considérés in- 

 dépendamment des triangles qui les lient entre eux, ils pré- 

 senteraient le même aspect que deux arcs de cercle décrits 

 d'un même rayon, qui s'opposeraient mutuellement leur con- 

 vexité. Alors la chaîne des triangles s'élargirait de plus en 

 plus à partir du point moyen où les deux arcs sont le plus 

 rapprochés, mais elle n'aurait toujours qu'une longueur dé- 

 terminée, ce qui ne peut s'accorder avec l'état réel des choses 

 qui exige que la chaîne soit d'une longueur infinie. Donc la 

 seconde hypothèse ne peut pas plus avoir lieu que la pre- 

 mière; donc la somme des angles du triangle ABC est égale 

 à deux angles droits. 



il. Cette démonstration est le résultat d'une construction 

 fort simple; elle a l'avantage de rendre sensible l'impossibi- 

 lité qu'il y aurait à ce que la chaîne des triangles eût des deux 

 côtés la figure, soit convexe, soit concave, qu'elle devrait 

 avoir s'il existait la plus petite inégalité , en moins ou en 

 plus, entre la somme des angles du triangle et deux angles 

 droits. Elle est d'ailleurs conforme à la rigueur géométrique, 

 dans ce sens que, si l'inégalité dont nous parlons avait lieu, 

 les deux contours de la chaîne A B P Q pourraient réellement 

 être inscrits dans des circonférences dont les rayons seraient 



