DES PARALLÈLES. 387 



triangles l'angle commun A est compris entre deux côtés 

 égaux, chacun à chacun, savoir AC' = AB et AK = AI. 

 Donc le troisième côté C'K est égal au troisième BI; donc 

 aussi l'angle AC'K=:ABI, et l'angle AKC' = AIB. 



Je dis maintenant que le triangle B'C' K est égal au trian- 

 gle A CI; car la somme des deux angles adjacents AKC' 

 -f- C'KB' est égale à deux angles droits, ainsi que la somme 

 des deux angles AIB + A IC; retranchant de part et d'autre 

 les angles égaux AKC', AIB, il restera l'angle C'KB' 

 = AIC. Ces angles égaux dans les deux triangles sont com- 

 pris entre deux côtés égaux chacun à chacun, savoir, C'K 

 = BI = CI et KB'=AK = AI, puisqu'on a supposé AB' 

 =2 AI = 2 A K. Donc les deux triangles B ' C ' K , A C I sont 

 égaux; donc le côté B'C' = AC, l'angle B'C' K = A CB et 

 l'angle KB'C' = IAC. 



Il suit de là, i° que l'angle AC'B, désigné par C', est 

 composé de deux angles égaux aux angles B et C du triangle 

 A B C, et qu'ainsi on a C '=B+ C ; 2° que l'angle A du triangle 

 ABC est composé de l'angle A' ou C'A B' qui appartient au 

 triangle A B ' C ' ou A' B ' C ', et de l'angle C A I égal à l'angle 

 B' du même triangle, ce qui donne A = A'+B'. 



Donc on a A + B + C = A' + B'-|-C', c'est-à-dire que la 

 somme des angles est la même dans le triangle A 1 B'C" que 

 dans le triangle proposé ABC. 



D'ailleurs puisqu'on a, par hypothèse, AC<AB et par 

 conséquent C'B'<A'C', on voit que dans le triangle AB'C' 

 ou A' B'C, l'angle A' est moindre que B'; et comme la 

 somme des deux est égale à l'angle A , il s'ensuit qu'on a 

 l'angle A'< jA, tandis que l'angle B' est à la fois >-A et 

 <A. 



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