388 REFLEXIONS SUR LA THEORIE 



Si on applique la même construction au triangle A'B'C' 

 pour en former un troisième A 2 B ! C 2 dont les angles, dési- 

 gnés suivant l'ordre de leur grandeur, sont A', B 2 , C', on 

 aura les deux égalités C J = B'+ C', A' = A'+B', d'où ré- 

 sulte A'+ B 2 + C , = A I +B'+ C'. Donc la somme des trois 

 angles est la même dans les trois triangles ; on aura en même 

 temps l'angle A' < { A", par conséquent A' < \ A , et B, < A' 

 ouB'<iA. Continuant indéfiniment la suite des triangles 

 A'B'C', A'B'C 2 , A 3 B 3 C 3 , etc., on parviendra à un triangle 

 A"B"C", dans lequel la somme des angles sera la même que 



dans le triangle proposé ABC et qui aura l'angle A"< — et 

 l'angle B"*^-^^- 



On pourra supposer que n est assez grand pour que ces 



deux derniers angles, exprimés par — et > ^ 1 , soient plus 



petits que tout angle donné, et ainsi puissent être consi- 

 dérés comme nuls; alors la somme des angles du triangle 

 A-B'C'se réduira au seul angle C". 

 Fig. 10. Mais si on considère un triangle abc dont les deux angles 

 a et &, sont très-petits, tant que ces angles ne sont pas nuls, 

 le troisième angle acb devra être joint à l'angle extérieur 

 bcd, pour que la somme des deux fasse deux angles droits ; 

 mais si l'on suppose que les deux angles aetb diminuent de 

 plus en plus, de manière que les côtés ac et bc tournent 

 autour de leurs sommets a et b, pour se rapprocher conti- 

 nuellement du côté immobile «Z>, alors on voit que, lorsque 

 ces angles deviendront tout-à-fait nuls, les deux droites acd 

 et bc se confondront avec la droite ab ; en même temps 

 l'angle extérieur bcd deviendra nul, et par conséquent l'angle 



