DES PARALLÈLES. 38o. 



acb, dont les côtés ac, cb se placeront bout à bout sur la 

 ligne droite ab, sera égal à deux angles droits. 



Ce que nous venons de dire du triangle abc , lorsque les 

 angles a et b seront diminués progressivement, jusqu'à de- 

 venir nuls, s'applique au triangle transformé A" B"C", lorsque 

 le nombre n des termes de la suite A' B' C', A'B 2 C . . . A"B"C", 

 sera assez grand pour que les angles A" et B d deviennent 

 plus petits que tout angle donné. Alors la somme des angles 

 du dernier triangle A"B"C" se réduira au seul angle C", et 

 par conséquent sera égale à deux angles droits. Donc la somme 

 des angles d'un triangle quelconque, représenté par ABC, est 

 égale à deux angles droits. 



i3. Cette démonstration a l'avantage d'être rigoureuse et 

 de n'exiger aucun postulation , avantage qu'on n'a trouvé 

 jusqu'ici dans aucun des livres élémentaires publiés depuis 

 Euclide, c'est-à-dire depuis près de deux mille ans. On peut 

 faire voir d'ailleurs qu'elle n'est pas aussi compliquée que 

 quelques personnes semblent le croire. En effet la partie de 

 la démonstration où l'on établit les relations diverses qui 

 existent entre le triangle A'B'C' et le triangle proposé ABC, 

 n'est pas plus difficile à concevoir que plusieurs des autres 

 démonstrations des éléments; ensuite la même construction 

 ayant lieu pour passer du triangle A'B'C' au triangle A*B 2 C\ 

 de celui-ci au triangle A 3 B 3 C 3 , etc., on parvient, sans aucune 

 difficulté nouvelle, au triangle A" B-C", dont les deux angles 

 A" et B" font une somme plus petite que l'angle primitif A 

 divisé par la puissance a" - '. Or il est évident qu'en prenant 

 !e nombre n suffisamment grand, on est maître de rendre 



A 



plus petit que tout angle donné ; alors le triangle 



