3gO RÉFLEXIONS SUR LA THEORIE 



A'B'C" se trouve dans le cas d'un triangle dont les deux 

 angles, d'abord très-petits, sont diminués progressivement 

 jusqu'à devenir nuls; les trois angles A", B", C", se réduiront 

 au seul angle C", qui devra être égal à deux angles droits. 

 Donc la somme des angles de ce triangle, et par conséquent 

 la somme des angles du triangle proposé ABC, est égale à 

 deux angles droits. 



En analysant ainsi les trois parties de la démonstration, 

 on trouvera que sa difficulté, si elle existe, peut au moins 

 être fort atténuée. 



Calculs relatifs à la démonstration précédente. 



Pour mieux faire apprécier la démonstration exposée dans cet article , 

 nous avons pensé qu'il serait utile de rechercher l'expression générale des 

 côtés d'un triangle quelconque A"B"C, pris à volonté dans la suite des 

 triangles transformés A'B'C, A'B'C, etc.; car connaissant les côtés on 

 connaîtra les angles et particulièrement l'angle C" qui, d'après notre dé- 

 monstration, doit différer aussi peu qu'on voudra de deux angles droits , 

 en prenant le nombre n d'une grandeur suffisante. Voici la solution de ce 

 problème. 



Dans la désignation du triangle A" B"C, les angles A". B", C", sont ran- 

 gés par ordre de grandeur, A" étant le plus petit et C" le plus grand; dé- 

 signons semblablement les côtés opposés par a„, b„, c„, rangés aussi par 

 ordre de grandeur; la question est de trouver l'expression de ces dernières 

 quantités en fonctions des côtés a, b, c, du triangle proposé ABC. 



Or en vertu de la construction qui nous a servi à former le triangle 

 A'B'C par le moyen du triangle donné ABC, on a a, = B'C' = AC = 6, 

 b, = A' C" = AB=c, e, = A' B' = 2AK = 2AI. D'ailleurs AI étant une 

 droite menée de l'angle A du triangle ABC au milieu du côté opposé , on 

 a, par un théorème connu, â~k' -I- Â~C' = 2 Â~î° + 2ÏTÏ', donc 4 aï' ou 

 (c,)' = 2c' + 2 b' — a'. On voit donc qu'avec les carrés a', b', «*, des côtés 



