392 RÉFLEXIONS SUR IJl THEORIE 



seront les carrés des trois côtés du triangle A"B*C", au moyen desquels 

 on détermine l'angle C" parla formule 



2C„_, C„_, 



Mais on peut déterminer cet angle par une formule plus simple et qui 

 donnera un résultat numérique plus exact, en partant du principe que 

 l'aire du triangle A"B"C" doit être égale à celle du triangle primitif ABC. 

 C'est ce qui sera démontré si on fait voir que l'aire du triangle A'B'C 

 est égale à celle du triangle ABC. 

 I'b' 9- Or puisque la base A 1 B 1 est double de AR, le triangle A 1 B' C est 

 double dû triangle A 1 C 1 K ou de son égal AIB; mais puisque CB est 

 double de BI, le triangle A BC est aussi double de AIB ; donc les deux 

 triangles ABC, A' B' C' ont des aires égales. Il en est de même de deux 

 triangles consécutifs quelconques dans la suite A'B'C 1 , A'B'C'jetc. 

 Donc l'aire du triangle A"B"C" est égale à celle du triangle donné ABC. 

 Cela posé on aura l'équation ^a„é„sin.C = " {absin. C, d'où résulte 



_ a b sin. C 



sin. C = : 



a i,b„ 



Le numérateur de cette quantité est constant , tandis que le dénomina- 

 teur est le produit de deux côtés a„, b„ qui augmentent très-rapidement à 

 mesure que n augmente, ainsi on voit que sin.C" deviendra bientôt plus 

 petit que toute quantité donnée; et comme la valeur de cos. C" se réduit 

 en même temps à — 1, sans aucune différence sensible, on en conclura 

 qu'arrivé à ce point l'angle C°=ir, c'est-à-dire que la somme des angles 

 du triangle proposé est égale à deux angles droits. 



Appliquons maintenant le calcul numérique à un exemple particulier, et 

 pour en prendre un très-simple, supposons que le triangle ABC est équi- 

 latéral et que ses côtés a, b, c, sont égaux à l'unité. On déduira d'abord 

 des résultats précédents les trois premiers termes c 2 =i, (c,)" = 3, 

 (c,y = j; ensuite, pour continuer la série indéfiniment, on a l'équation 



