DES PARALLÈLES. 3gO, 



« prolongées suffisamment dans le sens BD, devront se ren- 

 a contrer. » 



Par le point A menez la droite AC, de manière que la 

 somme des deux angles intérieurs BAC + ABD soit égale à 

 deux angles droits; puisque, par hypothèse, la somme des 

 deux angles X A B+ AB D est moindre que deux angles droits, 

 il faudra que l'angle BAX soit moindre que l'angle BAC. 



Mais l'angle CAX, mesuré par l'espace compris entre ses 

 côté, est un infini du second ordre, tandis que le biangle 

 CABD, mesuré semblablement par l'espace compris entre 

 ses côtés, n'est qu'un infini du premier ordre; il est donc 

 impossible que le premier espace soit contenu dans le se- 

 cond ; donc la droite AX prolongée suffisamment, devra ren- 

 contrer la droite BD également prolongée , afin que l'espace 

 contenu dans l'angle CAX s'étende infiniment au-delà du 

 biangle terminé par les droites AC, BD. 



C'est en cela que consiste le postulatum d'Euclide , d'où 

 l'on peut déduire ensuite le théorème sur la somme des angles 

 du triangle. Mais ce théorème peut aussi se démontrer di- 

 rectement et d'une manière très-simple, comme il suit. 



l6. Soit ABC un triangle proposé; prolongez le côté CA Fig. 

 vers D, le côté AB vers E, et le côté BC vers F. L'aire en- 

 tière du plan se compose visiblement de l'aire comprise par 

 l'angle DAE, de l'aire comprise par l'angle EBF, de l'aire 

 comprise par l'angle FCD, et enfin de l'aire du triangle 

 ABC. Cette dernière aire, qui est une quantité finie, disparaît 

 devant l'aire entière du plan , qui est un infini du second 

 ordre; ainsi nous n'en tiendrons pas compte. Il reste les 

 trois aires comprises par les angles DAE, EBF, FCD, dont 



