DES PARALLÈLES. 4°3 



base est MG, et par conséquent serait double du biangle 

 droit dont la base est MN , moitié de M G. Il suit de là que 

 le biangle oblique CPND, qui est équivalent au biangle 

 droit dont la base est AB, est équivalent aussi au biangle 

 droit dont la base est MN. Or, deux biangles droits égaux 

 doivent avoir des bases égales. Donc i° la perpendiculaire 

 MN est égale à AB. 



Nous avons élevé MN perpendiculaire à AC jusqu'à la 

 rencontre de B D , et nous avons prouvé que M N doit être 

 égale à AB; si par le point N nous élevions de même une 

 perpendiculaire à BD jusqu'à la rencontre de AC, il faudra 

 que cette perpendiculaire, que nous désignerons par NM', 

 soit égale aussi à AB; mais il est visible que cette seconde 

 droite NM', si elle ne se confondait pas avec la perpendicu- 

 laire NM, serait une oblique plus grande que NM, et par 

 conséquent plus grande que A B. Donc , pour qu'elle soit 

 égale à AB il faut nécessairement qu'elle se confonde avec 

 NM; donc %° la même droite MN est perpendiculaire à la fois 

 aux deux parallèles AC, BD. 



20. Cette démonstration établit d'une manière très-simple 

 et très-rigoureuse une propriété essentielle des parallèles 

 dont on a naturellement l'idée sans aucune étude prélimi- 

 naire ; car on ne peut guère concevoir deux parallèles sans 

 se les représenter comme deux: lignes qui conservent la même 

 distance entre elles , quand même elles seraient prolongées 

 à l'infini ; et on conçoit en même temps que cette distance , 

 qui est partout la même , est mesurée par une droite per- 

 pendiculaire à la fois aux deux parallèles. 



Ce principe étant une fois démontré , toute la théorie des 



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