

DES PARALLÈLES. 4OD 



côtes égaux , savoir , A C D , C A N sont égaux ; il en sera de 

 même des deux angles ABD, BAM; donc les trois angles 

 du triangle ABC font la même somme que les trois angles 

 CAN , CAB, BAM ; cette dernière somme est égale à deux 

 angles droits, puisque M AN est une ligne droite. Donc la 

 somme des angles du triangle ABC est égale aussi à deux 

 angles droits. 



22. Toute difficulté est ainsi résolue , et nous avons trouvé 

 enfin une démonstration de la théorie des parallèles , aussi 

 simple que rigoureuse, et très-propre à être insérée dans 

 les éléments. Cependant nous ne devons pas dissimuler qu'il 

 y a une objection à faire contre les propriétés des biangles , 

 sur lesquelles la démonstration de notre proposition prin- 

 cipale est appuyée. 



Nous avons supposé que deux biangles droits sont équi- 

 valents , c'est-à-dire égaux en surface, si leurs bases sont 

 égales. En effet, si l'on compare entre eux les deux biangles 

 droits C A BD,PMNQ, dont les bases A B, M N sont égales, Fig. 16. 

 on voit que ces deux biangles peuvent être superposés , et 

 qu'ainsi ils sont égaux. 



Mais ce qui a lieu pour deux biangles droits ainsi isolés 

 semble ne plus être vrai pour deux biangles droits qui ont 

 deux bases égales, mais qui sont enclavés l'un dans l'autre. 

 Tels sont les deux biangles droits CM ND, CABD(fig. i4), 

 dont les deux bases MN et AB sont égales en vertu de la 

 proposition citée. 



Il est évident en effet que ces deux biangles sont inégaux , 

 puisque leur différence est égale au rectangle ABNM, qui 

 peut être d'une grandeur quelconque finie. 



