4o8 RÉFLEXIONS SUR I,A THEORIE 



mention , afin de pouvoir choisir moi-même, après un exa- 

 men approfondi , celle qui me paraîtrait devoir être préférée 

 aux autres. Il est résulté de cet examen et des nouvelles idées 

 qu'il m'a suggérées, que j'ai été conduit , d'une manière im- 

 prévue, à une nouvelle démonstration, qui ne le cède en 

 rigueur géométrique à aucune autre, et qui paraît pouvoir 

 être choisie comme la plus simple et la plus propre à être insé- 

 rée dans les Eléments. Cependant, comme cette démonstra- 

 tion repose sur les propriétés d'une figure qui n'a pas encore 

 été considérée dans les Eléments, il serait possible que cette 

 innovation ne fût pas généralement approuvée. Quel que 

 soit au reste le jugement qu'on en portera , j'aurai toujours 

 à me féliciter de l'espèce de hasard qui m'a permis de pré- 

 senter au choix des géomètres , deux démonstrations éga- 

 lement rigoureuses de la Théorie des Parallèles (*),• l'une 

 ( celle de la 12 e édition) plus directe et plus conforme aux 

 méthodes ordinaires; l'autre, fondée sur un principe nou- 

 veau, mais dont l'application rentre dans les formes élé- 

 mentaires les plus simples. 



Ayant ainsi terminé, d'une manière satisfaisante, la dis- 

 cussion d'une question célèbre , agitée si long-temps dans la 

 géométrie élémentaire, qu'il me soit permis de rappeler , à 

 cette occasion, quelques-uns des travaux par lesquels j'ai 

 tâché, dans ces dernières années, de perfectionner et de 

 compléter mes deux principaux ouvrages. 



La troisième édition de la Théorie des nombres , que j'ai 



(*) Car avant que je publiasse mon ouvrage, il n'existait aucun livre 

 élémentaire où la démonstration de la théorie de parallèles pût être re- 

 gardée comme absolument rigoureuse. 



