d'dw ellipsoïde homogène. 533 



Or, pour que ses trois racines fussent positives, il faudrait 

 que le coefficient de V fût négatif et que celui de t fût positif- 

 et parce que h est un facteur positif, il faudrait que les 

 quantite's 



a^b:^ a: c;+ b^ c:- (b,'+ c:) «-_ («.^+ c^^W~(a^+ è.oc , 

 «' + è' -l-C' — <— è/ — c.% 



fussent toutes deux positives. Mais deux des trois différen- 

 ces b,' — a;, c.' — a,\ b:—c:, doivent être négatives ou 

 zéro; supposons que ce soient les deux premières, et ajou- 

 tons la première des deux quantités précédentes à la seconde 

 multipliée par ô.' +c/, nous aurons 



{b: - a:)b'-^{c;—a:)c'~b,'-c^~b:cr, 



et cette quantité étant négative, il s'ensuit qu'une au moins 

 des deux quantités que l'on a ajoutées, est aussi négative. 

 Par conséquent l'équation que nous considérons n'a pas ses 

 trois racines positives; ce qu'il s'agissait de démontrer. 



§ IV. 



Réduction des formules de l'attraction exercée sur un point 



extérieur. 



(i8) Désignons par)., ;, /', trois quantités réelles et posi- 

 tives; soient X, — Z, _/', les trois racines de l'équation (L) ; 

 et prenons la racine positive pour la valeur de A, et les deux 

 autres pour les valeurs de B et C, de sorte qu'on ait 



Az=x, B = _;, C = -/'. 



En ayant égard aux équations (i3), l'expression réduite 



