46o SUPPLÉMENT A LA NOUVELLE DETERMINATION 



Nous aurons par suite 



sin. 2X:^sin. 2 H (i — \ e' + e' siii.'H) 

 COS. 31= I — 2 sin. 'H (i — c' + e" sin."H) 

 COS. 4^ = I — 8 sin. ' H cos. ' H , 

 en ne tenant compte toutefois que des termes du premier 

 ordre en s. 



D'un autre côté , la valeur ci-dessus de r étant développée 

 au même degré d'approximation , l'on a 



r = «7 ( I — { e' + [ c' sin. ' >. ), 



d'où — = — (i + : e'— :e'sin.'H), 



puisque sin.' A = sin.' H (i — e' + e'sin.'H). Ainsi lasérie(i) 

 donnera sur-le-champ 



X' = > ^ COS. Z ( i -f- ; C — { r' sin. ' H) 



K' 



— T — r- sin.' Z tanc. H, 



'a' O ' 



en n'ayant toujours égard qu'aux termes du premier ordre. 

 Maintenant, si l'on prend le sinus du double de cette valeur 

 approchée de x', et que pour abréger l'on fasse l' ^1 — Q, 

 l'on aura 



K' 



sin 



. 2 V = sin. 2 X ;- COS. ' Z sin. 2 X — 2 Q cos. a X. 



a 



Par un procédé semblable on obtiendra 



sin. 4 X' = sin. 4 > — 4 — cos. Z cos. 4 >.. 



Ces dernières ^valeurs et les précédentes étant introduites 

 dans (2), et l'apjjroximation étant poussée jusqu'aux quantités 

 du 3* ordre inclusivement , on aura pour le 2^ terme 



