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Eulériennes de première<et de seconde espèce, el dont il a 

 expose la théorie avec tous les développements que l'on peut 

 désirer. Les autres constituent les fonctions elliptiques qui 

 doivent être l'objet spécial de ce rapport. Ces fonctions sont 

 susceptibles de trois formes distinctes, et se divisent, en 

 conséquence, en fonctions elliptiques de première, de se- 

 conde et de troisième espèce ; chacune desi fonctions des 

 deux premiers ordres ne renferme qu'une seule constante 

 qu'on nomme le module; la fonction de seconde espèce est 

 l'arc d'ellipse; celle de troisième espèce est la plus compliquée, 

 et contient deux quantités constantes. La variable d'oii dé- 

 pend chaque fonction s'appelle Xamplitude. 



On compare les fonctions elliptiques sous deux points de 

 vue différents : par rapport aux grandeurs de l'amplitude 

 d'une même fonction , et relativement aux grandeurs du mo- 

 dule de deux fonctions de même espèce , ou de deux fonctions 

 d'espèce différente. T.e théorème de Fagnani par lequel on 

 assigne , sur une même ellipse , deux arcs dont la diffé- 

 rence est une quantité donnée, et la division de la Lemnis- 

 cate en parties égales , que ce géomètre a fait dépendre 

 d'équations algébriques , se rapportent au premier mode de 

 comparaison. Ce sont les premières questions de ce genre, dont 

 les géomètres se soient occupés : elles datent de i^Soiet on les 

 citera toujours dans l'histoire du calcul intégral , comme le 

 germe et l'origine de la théorie des fontions elliptiques. Vient 

 ensuite (en 1761) une des plus belles découvertes à'Euler, 

 l'intégration sous forme finie , d'une équation à deux termes 

 dont aucun ne peut s'intégrer séparément. L'intégrale qu'Eu- 

 ler a obtenue, fait connaître les sinus et cosinus de la somme 

 et de la différence des amplitudes de deux fonctions données; 



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