■j6 RAPPORT SUR I.'OUVRAGE 



elle comprend les résultats particuliers que Fagnani avait 

 donnés , et tout ce qui concerne le premier mode de com- 

 paraison des fonctions elliptiques et leur division en parties 

 égales. Sur ce premier point, Euler n'a rien laissé à faire 

 à ses successeurs , si ce n'est la résolution même des équa- 

 tions algébriques, d'où dépend la division d'une fonction 

 donnée; résolution qui a été trouvée quatre-vingts ans plus 

 tard , ainsi que nous le dirons à la fin de ce rapport. Mais 

 M. Legendre remarque , comme une chose singulière , 

 qu'Euler ne se soit jamais occupé de l'autre mode de com- 

 paraison et de réduction des fonctions elliptiques. Le pre- 

 mier pas qu'on a fait dans cette seconde partie, est le théo- 

 rème de Landen , sur la réduction de l'arc d'hyperbole aux 

 arcs d'ellipse. Quelque temps après (en 1784), Lagrange 

 donna une méthode applicable à toutes les fonctions ellip- 

 tiques , dont le but est d'en faciliter le calcul numérique , 

 en augmentant ou diminuant de plus en plus la grandeur 

 du module. Et, en effet, après qu'on a rendu par ce pro- 

 cédé, le module d'une fonction, très-peu différent de zéro 

 ou de l'unité, on achève ensuite, sans difficulté, le calcul de 

 sa valeur approchée. En la considérant comme une méthode 

 d'appioximation, celle que l'on doit à Lagrange ne laisse 

 donc rien à désirer; mais indépendamment de leurs valeurs 

 numériques, il existe entre les fonctions elliptiques, des re- 

 lations nombreuses qu'il est intéressant de connaître, et 

 qu'on doit regarder comme autant de théorèmes d'analyse , 

 ou bien encore , comme autant d'intégrales particulières 

 d'une équation à deux termes , d'où il est facile de conclure 

 son intégrale complète. Or, à cet égard, Lagrange est loin 

 d'avoir épuisé la matière; et il ne paraît pas même qu'il ait 

 envisagé la question sous ce point de vue. Quoi qu'il en soit, 



