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connaissait auparavant que deux solutions particulières. 

 L'échelle de modules que M. Legendre a trouvée et qui 

 n'était pas encore connue de M. Jacobi, est renfermée dans 

 la solution générale et répond au nombre trois. L'ancienne 

 échelle n'y est pas comprise explicitement; mais elle a avec 

 l'échelle indéterminée de M. Jacobi , une très-grande analo- 

 gie, et peut être censée appartenir au nombre deux. 



L'équation algébrique entre les modules des deux fonc- 

 tions qu'on veut réduire l'une à l'autre , étant très-difficile 

 à former, quand le nombre auquel ils répondent est un peu 

 considérable, on y substitue avec avantage une équation 

 transcendante , très-importante dans cette théorie, et dont 

 M. Legendre a montré l'usage pour calculer la valeur appro- 

 chée d'un terme quelconque de l'échelle des modules. M. Ja- 

 cobi a aussi exprimé la relation entre deux modules consécu- 

 tifs, par une équation différentielle du troisième ordre, qu'il 

 a intégrée complètement au moyen des fonctions ellipti- 

 ques. Des tables numériques de ces fonctions ayant été cal- 

 culées, on peut maintenant admettre ce mode d'intégration 

 dans l'analyse, aussi bien que l'intégration par arcs de cercle 

 et par logarithmes. M. Legendre en avait déjà donné l'exem- 

 ple, à l'égard de deux équations différentielles du second 

 ordre , et d'une équation du premier ordre , analogue à 

 l'équation de Riccati. 



Par une combinaison très-simple des formules de M. Ja- 

 cobi , on obtient une solution nouvelle du problème de la 

 multiplication et de la division des fonctions elliptiques dans 

 le cas d'une amplitude quelconque, en supposant le pro- 

 blème résolu lorsque l'amplitude est un angle droit ( note C). 

 On en conclut immédiatement que l'équation relative à la 



