82 RAPPORT SUR l'ouvrage 



M. Abel de Christiaiia, dont la mort prématurée est une des 

 plusgrandes pertes que les sciences pouvaientéprouver(i). Par 

 un singulier hasard, Abel et M. Jacobi à peu près du même 

 âge et inconnus l'un à l'autre , ont débuté en même temps 

 dans la carrière des sciences, par de profondes investiga- 

 tions sur un même sujet, dont un seul géomètre s'occupait 

 depuis long-temps ; et plusieurs fois, il leur est arrivé de 

 parvenir aux mêmes résultats, quoique les voies qu'ils ont 

 suivies fussent très-différentes. 



Dans son premier Mémoire sur les fonctions elliptiques, 

 publié en 1827 dans le journal de M. Crelle, Abel eut l'heu- 

 reuse idée de renverser la question et de considérer l'am- 

 plitude comme une fonction de l'intégrale, contrairement 

 à ce qu'on avait fait jusque là. Il démontre que le si- 

 nus de l'amplitude est une fonction de l'intégrale qui a 

 deux périodes distinctes, l'une réelle, comme le sinus d'un 

 arc de cercle, et l'autre imaginaire, comme les fonctions 

 exponentielles; ce qui est une découverte capitale, propre 

 à jeter un grand jour sur la nature des fonctions ellipti- 

 ques, et qui fait connaître la signification des racines réelles 

 ou imaginaires des équations algébriques que l'on obtient 

 en égalant à zéro ou à l'infini, le sinus et d'autres fonctions 

 trigonométriques de l'amplitude. L'auteur en conclut diverses 

 expressions de ces fonctions en produits et en séries infinies, 

 que M. Jacobi a obtenues ensuite par un moyen tout diffé- 

 rent, ainsi que nous l'avons dit plus haut. Le même mé- 

 moire renferme aussi pour une amplitude quelconque, la 



(i) Les géomètres français sauront gré à M. Abel d'avoir écrit ses ou- 

 vrages dans notre langiie, et à M. Jacobi d'avoir fait usage du français 

 ou du latin. 



