AUX e'qUATIONS tfcANStEr^DANTES. 12 1 



Voici I énoncé du théorfemfe : 



Si l'on écrit l'équation algébrique X.^=o^et toutes celles qui 

 en dérivent par la differentiation, X'= o,X"=:o,X"'=:;=o,etc. ; 

 et si l'on reconnaît que toute racine réelle d'une quelconque 

 de ces équations, étant substituée dans celle qui la précède 

 et dans celle qui la suit , donne deux résultats de signes 

 contraires , il est certain que la proposée X = o a toutes 

 ses racines réelles, et que, par conséquent, il en est de 

 même de toutes les équations subordonnées X'=o, X"^o, 

 X"'=o, etc. Or, en proposant l'objection dont il s'agit, on 

 n'a point fait l'application littérale du théorème , parce qu'on 

 a omis de considérer les racines réelles du facteur e' = o. 



Ce facteur coïncide avec celui-ci, fi-i — j '^=o, lorsque le 



nombre m croît sans limites et devient plus grand que tout 

 nombre donné. L'équation e'z= o a donc une infinité de fac- 

 teurs dont on ne doit point faire abstraction, lorsqu'on en- 

 treprend d'appliquer textuellement la proposition. On ne 

 peut pas dire que l'équation e' -hbe"=^o a une seule racine 

 réelle, et une infinité de racines imaginaires; car cette équa- 

 tion, qui a une infinité de racines imaginaires, a aussi une 

 infinité de racines réelles. Or l'auteur n'emploie qu'une 

 seule de ces racines réelles : il en omet une infinité d'autres 

 égales entre elles, savoir celles qui réduisent à zéro le fac- 

 teur e'. 



Lorsque dans ce facteur on attribue à x une valeur réelle 

 négative dont la grandeur absolue surpasse tout nombre 

 donné, la fonction e' approche continuellement de o, et de- 

 vient plus petite que tout nombre donné. C'est ce que l'on 

 exprime en disant que l'équation e' = o a pour racine réelle 

 T. X. i6 



