124 APPLICATION DE LANALYSE ALGEBRIQUE 



que celles de ces racines qui ne rendent point nul le fac- 

 teur e\ Or il n'y en a qu'une seule, savoir la racine réelle 

 du facteur i — a""*". e' = o. Cette racine, qui rend e' égale à 



-^^ , donne certainement deux résultats de signes opposés : 



mais l'application du théorème ne consiste pas à substituer 

 dans les deux fonctions intermédiaires une seule des racines 

 réelles de l'équation e' — 2°+'.e":=o ; elle exige que l'on 

 emploie toutes ces racines, et il est nécessaire qu'il n'y ait 

 aucune de ces racines réelles qui , étant substituée dans les 

 deux fonctions intermédiaires , donne deux résultats de 

 signes opposés. C'est ce qui n'arrive point ici ; car il y a , au 

 contraire, une infinité de valeurs réelles de jc, dont chacune, 

 étant mise pour x dans les deux fonctions intermédiaires, 

 donne le même résultat , savoir zéro. 



Pour appliquer à une équation X ^ o la proposition dont 

 il s'agit, il faut reconnaître avec certitude qu'il n'y a dans 

 le système entier des fonctions dérivées aucune fonction in- 

 termédiaire que l'on puisse rendre nulle , en mettant pour x 

 une valeur réelle quelconque , qui , substituée dans la fonc- 

 tion précédente et dans la suivante, donne deux résultats de 

 même signe. S'il y a une seule de ces valeurs réelles de x qui 

 rendant nulle une quelconque des fonctions intermédiaires 

 donne deux résultats de même signe pour la fonction pré- 

 cédente et la fonction suivante, ou si l'on ne peut recon- 

 naître avec certitude que les signes des deux résultats sont 

 différents, on ne doit point conclure que toutes les racines 

 de X = o sont réelles. 



Donc on n'est point fondé à objecter qu'il résulterait du 

 théorème algébrique que l'équation e' — e"=:zo a toutes 

 ses racines réelles. 



