iSa APPLICATION DE LANAl.YSE ALGEBRIQUE 



corollaires la remarc(Ue de Huddesur les racines égales, la règle 

 de Descartes coiiceriiant le nombre des racines positives ou 

 négatives , et la proposition de de Gua relative aux équations 

 dont toutes les racines sont réelles. 



La démonstration de ce théorème général , publiée dans 

 les Mémoires cités de la Société Philomatique, ne diffère point 

 de celle que j'ai donnée autrefois dans les cours de l'école 

 Polytechnique de France. Je suppose ici que le lecteur a sous 

 les yeux cette démonstration , et je me borne à rappeler les 

 conséquences principales. 



Le nombre substitué a passant par degrés insensibles de 



sa valeur initiale à la dernière + -, il ne peut survenir 



de changements dans la suite des signes des résultats que 

 lorsque a atteint et dépasse infiniment peu une valeur de a: 

 quirend nulle une des fonctions X'"\ X*^"""',. . .X'", X",X', X. 

 Or, après que a a dépassé cette valeur de a;, il peut arriver 

 que le nombre des variations de signes de la suite n'ait point 

 changé: ainsi on trouverait le même nombre de variations 

 en les comptant av;int et après. Il peut arriver aussi deux 

 autres cas : le premier, lorsque la fonction qui s'évanouit est 

 la dernière; alors la valeur substituée a est une des racines 

 réelles, et le nombre des variations de signes ne demeure 

 pas le même; il est diminué d'une unité. Dans l'autre cas, 

 la fonction qui s'évanouit n'est pas X: elle est une des fonc- 

 tions dérivées intermédiaires , et il arrive que le nombre des 

 variations de signes n'est pas le même qu'auparavant; il est 

 diminué de deux unités, et l'on conclud avec certitude que 

 deux des racines de l'équation proposée sont imaginaires. 

 Ainsi 



