. AUX ÉQUATIONS TAANSCENDANTES. 1 33- 



I" Leâ valeurs accidentelles de x, qui font évanouir une 

 des fonctions, peuvent n'apporter aucun changement dans 

 le nombre total des variations ; ces valeurs substituées sont 

 indifférentes. 



2° La substitution qui fait évanouir une des fonctions peut 

 diminuer d'une seule unité le nombre des variations; alors 

 la valeur substituée est une racine réelle. 



3" La substitution qui rend nulle une (onction intermé- 

 diaire fait disparaître deux variations de signes, sans rendre 

 nulle la fonction X ; alors on est assuré que deux des racines 

 de l'équation soiit imaginaires. Ce sont les deux cas élémen- 

 taires pour lesquels le nombre des changements de signes 

 diminue. Il ne peut jamais augmenter; il est conservé, ou 

 if est diminué d'une unité pour cliaque racine réelle, ou il 

 est diminué de deux unités pour chaque couple de racines 

 imaginaires. Il n'y a point d'autres cas possibles ; ils peuvent se 

 réunir accidentellement, et alors ils donnent lieu à autant 

 de conclusions séparés. 



Il est fort important de remarquer ces valeurs critiques 

 de X, qui ont la propriété de faire disparaître à la fois deux 

 variations de signe. Cette disparition a lieu parce que la va- 

 leur de X qui rend nulle la fonction dérivée intermédiaire 

 donne deux résultats de même signe, lorsqu'on la substitue 

 dans les deux fonctions dont l'une précède et l'autre suit la 

 fonction intermédiaire qui s'évanouit: c'est cette condition 

 qui est le caractère propre des racines imaginaires. Autant de 

 fois que ce caractère se reproduit , autant la proposée a de 

 couples de racines imaginaires; réciproquement, il ne peut y 

 avoir de couples de racines imaginaires que dans le cas oà 

 cette condition subsiste. 



