l34 APPLICATION DE l' ANALYSE ALGEBRIQUE 



Cette considération nous fait mieux connaître la nature des 

 racines imaginaires. En effet elle montre que les racines man- 

 quent dans de certains intervalles, savoir ceux où il arrive 

 que le nombre substitué a, passant d'une valeur de x à une 

 autre infiniment voisine , rend nulle une fonction intermé- 

 diare sans rendre nulle la fonction X, et fait ainsi disparaître 

 deux variations de signes, en donnant deux résultats de même 

 signe à la fonction qui précède et à celle qui suit. Cette con- 

 clusion a toujours été regardée comme évidente dans le cas 

 très-simple où la courbe de forme parabolique, et dont l'é- 

 quation estjK=X, s'approche de l'axe des a;, et après avoir 

 atteint une valeur minimum sans rencontrer l'axe, s'en éloi- 

 gne et poursuit son cours. Mais ce n'est là qu'un cas parti- 

 culier des racines imaginaires : ce minimum peut avoir lieu 

 pour une des fonctions dérivées d'un ordre quelconque, et 

 alors il détermine toujours un couple de racines imaginaires. 

 A proprement parler, les racines imaginaires sont des racines 

 déficientes, qui manquent dans certains intervalles; et l'on re- 

 connaît que c'est à un de ces intervalles que correspond en 

 effet un couple de racines imaginaires, parce qu'il suffit de 

 prouver que ces deux racines n'existent point dans l'inter- 

 valle dont il s'agit, pour conclure avec certitude que l'équa- 

 tion proposée a deux racines imaginaires. 



Quoique dans l'énoncé de ces propositions nous ne consi- 

 dérions ici que les fonctions algébriques, il est assez évident 

 que ces racines déficientes , que l'on a appelées imaginaires, 

 ont le même caractère dans les équations non algébriques 

 formées d'un nombre fini ou infini de facteurs du premier 

 degré réels ou imaginaires. Ce minimum absolu est le signe 

 propre du manque de deux racines ; mais nous écartons ici 



