l36 APPLICATION DE I.'aNAI.YSE ALGEBRIQUE 



l'on est assuré que toute valeur réelle de x, qui rend nulle 

 une des fonctions intermédiaires, donne deux résultats de 

 signes contraires lorsqu'on la substitue dans les deux fonc- 

 tions précédente et suivante, il est certain que l'équation 

 algébrique proposée a toutes ses racines réelles: c'est la pro- 

 position donnée par de Gua ; on voit qu'elle est un corollaire 

 évident du théorème général que j'ai énoncé plus haut. 



Dans tous les cas possibles, une équation algébrique a 

 nécessairement autant de racines imaginaires que la suite de 

 signes perd de variations, lorsque le nombre substitué passe 

 par de certaines valeurs réelles de x^ qui font disparaître des 

 variations de signes sans que la dernière fonction X s'éva- 

 nouisse. Ainsi lorsqu'il n'y a point de telles valeurs de x, il 

 n'y a point de racines imaginaires. 



Il suffit donc, pour être assuré qu'une équation algébrique 

 a toutes ses racines réelles, de reconnaître qu'il n'existe au- 

 cune de ces valeurs réelles de x qui, .sans rendre nulle la der- 

 nière fonction X, fassent disparaître deux variations à la fois. 



Nous considérons maintenant la fonction transcendante 



?'■= ï H / îT — / o\; + -, T-TT. — etc. , afin de prou- 



^ I (i-?-) [1.2.0) (1.2.0.4) 



ver que l'équation (fr = o a toutes ses racines réelles. Cette 

 équation est celle qui se lapporte au mouvement de la cha- 

 leur dans un cylindre solide. 



Je me suis d'abord proposé de connaître la forme de la 

 ligne courbe dont léquation est y = (^r, y désignant l'or- 

 donnée dont /' est l'abcisse. Cette ligne a des propriétés fort 

 remarquables, que l'on déduit d'une expression de çr en in- 

 tégrale définie. Dans mon premier mémoire sur la Théorie 

 de la chaleur (1807), j'ai employé cette intégrale pour dé- 



