l38 APPLICATION DE LANALÏSE ALGEBRIQUE 



Faisant nx = r, on trouve la fonction transcendante ^(r) qui 

 est l'objet de la question. 



Nous allons maintenant démontrer que lequation algé- 

 brique F(a;,ra) = o, dont a; est l'inconnue, n'a que des ra- 

 cines réelles; et nous prouverons qu'il s'en suit nécessaire- 

 ment que l'équation trancendante(p(r) = o, dont rest l'incon- 

 nue, a aussi toutes ses racines réelles. 



Pour reconnaître la nature des racines de l'équation algé- 

 brique F(a;,«) = o, nous appliquerons les théorèmes que 

 l'on vient de rappeler. 



La fonction F (a;, n) étant désignée par/, on trouve que r 



satisfait à l'équation différentielle ^t-4^ + ( ' ""^''^ +nj=o, 

 ce dont on peut s'assurer par la différentiation. On conclud 

 de cette dernière équation les suivantes , 



d^ y r ^d' y dy 



X ~ -J- (2 — X) -r^ + n~ = o 

 dx^ ^ ' dx dx 



d^ Y 11 \d-^ y d'y 



dx* ■' dx^ dx 



/ \ ^^ Y r r \d* Y d^ r 



d'y ,. .d'—'y d'~'y 



x-r^,-h (i — I — x) , , , -4- n , . . = o. 

 dx' ^ ' dx'-" dx' — ' 



Cette relation récurrente se reproduit autant de fois qufe ta 

 fonction y peut être différentiéesans devenir nulle, en sorte 

 qu'il y a un nombre n de ces équations (e). Si actuellement 

 on suppose, dans chacune des équations (<?), que le second 

 terme est rendu nul par la substitution d'une certaine va- 



