AUX ÉQUATIONS TRANSCENDANTES. I iy 



leur réelle de x dans une fonction dérivée , on voit que la 

 même substitution donne, pour la fonction dérivée précé- 

 dente et pour celle qui suit, deux résultats dont le signe ne 

 peut pas être le même. En effet la valeur de x qui , subs- 

 tituée dans le second terme, rend ce terme nul, n'est pas 

 un nombre négatif: car la fonction qui exprime j ne peut 

 pas devenir nulle lorsqu'on donne à x une valeur négative, 

 puisque tous les termes recevraient ce même signe. Il en est 



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de même de -r-, et de toutes les fonctians dérivées de y : au- 



cune de ces fonctions ne peut être rendue nulle par la sub- 

 stitution d'une valeur négative de x , car tous les termes 

 prendraient le même signe. Donc les valeurs réelles de x^ 

 qui auraient la propriété de faire évanouir une des fonctions 

 dérivées , ne peuvent être que positives. Donc en substituant 

 pour a;, dans une des équations (e), une valeur réelle de x 

 qui ferait évanouir le second terme , il arrivera toujours que 

 le premier et le dernier terme n'auront pas un même signe; 

 car leur somme ne serait pas nulle. On ne peut pas suppo- 

 ser que la même valeur de a;, qui fait évanouir le second 

 terme , rend aussi nuls le premier et le troisième terme 

 d'une des équations (e); car si cela avait lieu , on conclurait 

 de ces équations que la même valeur de x fait évanouir les 

 fonctions dérivées de tous les ordres , sans aucune exception 

 Ce cas singulier serait celui où l'équation proposée y = o 

 aurait toutes ses racines égales. 



n résulte évidemment de la condition récurrente qui vient 

 d'être démontrée , que l'équation F(a;,«)^o a toutes ses 

 racines réelles. En effet cette équation est algébrique, et il 

 n'existe aucune valeur de x propre à faire évanouir une fonc^ 



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